Derecho y Matemática: a propósito de un reciente artículo

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Por José Carlos Fernández Salas, asociado del Estudio Echecopar.

Se publicó recientemente en este mismo espacio un interesante artículo del profesor Gilberto Mendoza del Maestro en el que se postula la utilización del método matemático de los multiplicadores de Lagrange en el campo de la cuantificación de los daños. Por lo novedoso del artículo, pero también por lo discutible de algunas proposiciones, he considerado pertinente formular una respetuosa crítica que voy a desarrollar en las siguientes líneas y fomentar con ello el debate académico sobre este tema. La idea general que desarrollaré es que, si bien es valioso el acercamiento económico, matemático y, en general, interdisciplinario al Derecho, éste tiene que hacerse con la seguridad de que se están recogiendo correctamente la finalidad y la funcionalidad de las instituciones que se intentan aplicar al Derecho.

Comenzando por lo positivo, no se puede más que concordar en la crítica a la relativa superficialidad de los estudios sobre Análisis Económico del Derecho que se han dado en nuestro país. No se ha dado todavía un estudio estructural de las relaciones que pueden y deben existir entre las instituciones del Derecho y de la Economía, pues los autores nacionales predominantemente han tratado este campo de manera inorgánica, en función a una moda pasajera y principalmente centrándose en uno solo de los enfoques de la Economía que es la Microeconomía, como anteriormente desarrollé en otro trabajo[1].

Afortunadamente, no por estar todavía en sus pasos iniciales en la academia jurídica peruana, el enfoque económico pierde algo de su utilidad. Desde hace décadas, especialmente a raíz de los estudios de Gary Becker, se ha hecho evidente lo potente que es el razonamiento económico y su formalización matemática, y se ha empezado a estudiar su impacto no solamente en el campo del Derecho, sino también en otros campos de las ciencias sociales como la Sociología o la Ciencia Política. Por ello, se puede afirmar con certeza que hay todavía muchísimo campo en nuestro país para los estudios que recogen el enfoque económico en el análisis de instituciones jurídicas. A continuación, veremos hasta qué punto se recogen adecuadamente los conceptos del campo de la Economía y de las Matemáticas para aplicarlos al análisis del problema de la cuantificación de daños.

Desde mi punto de vista, el enfoque interdisciplinario que se intenta aplicar a la cuantificación de daños no se utiliza de manera adecuada porque se incurren en inexactitudes en dos niveles diferentes. Las primeras a nivel metodológico y las segundas a nivel puramente matemático. Comenzaré por las primeras.

Desde el punto de vista metodológico, la idea de base es que la utilización de conceptos de otras disciplinas se tiene que hacer con el cuidado necesario de estar recogiéndolas de manera correcta; es decir, principalmente conociendo la finalidad que tienen en su disciplina de origen. El contexto al que se busca aplicar el método de los multiplicadores de Lagrange es el de la cuantificación de los daños, específicamente en el caso de los costos incurridos por no poder usar ciertos equipos comprados por una entidad pública y haber tenido que tercerizar dicho servicio. Por lo tanto, la pregunta objetiva del caso es la de ¿cuál es la diferencia entre lo que costó la tercerización y lo que hubiera costado el servicio hecho por la misma entidad utilizando los equipos?

Sin embargo, hay que preguntarse si para responder esa pregunta nos ayuda el método de los multiplicadores de Lagrange. En principio, la respuesta a esa pregunta es que no. Dicho método ayuda a responder una pregunta diferente que es[2] ¿qué debo hacer para incurrir en el menor costo para producir determinada cantidad de un producto? Como se ve, dicho método es un instrumento que sirve para determinar las mejores decisiones futuras que se pueden tomar, no para la descripción de los hechos ya ocurridos, que es donde se enmarca el problema de la cuantificación de daños.

De una manera más general, el método de los multiplicadores de Lagrange es un instrumento del cálculo diferencial que sirve para optimizar (minimizar o maximizar) funciones matemáticas, que se encuentran sujetas a una o más restricciones. En el caso de los costos de una empresa, éstos se pueden representar a través de una función que dependa, por ejemplo, de la cantidad de insumos y de trabajadores. Pero dicha función puede encontrarse sujeta a una restricción que podría ser el tamaño limitado del local de la empresa. Matemáticamente para optimizar una función basta con tomar sus primeras derivadas parciales, siendo la derivada una operación matemática que ya no vendría al caso desarrollar en este texto. No obstante, cuando existe una restricción, no basta con tomar las primeras derivadas, sino que además es necesario asignar los denominados multiplicadores de Lagrange a cada una de las restricciones que tenga la función objetivo para formar una nueva función comúnmente llamada “el Lagrangiano“. La solución se obtiene resolviendo el sistema de ecuaciones extraído de la aplicación de las primeras derivadas del Lagrangiano.

En resumidas cuentas, los multiplicadores de Lagrange no constituyen un método que nos permita describir una realidad ocurrida, sino que, más bien, son un método que nos ayuda a tomar decisiones óptimas. Eso es gran parte de lo que se hace en economía: se simplifica la realidad, se separan las variables exógenas y las variables endógenas y se estudia de qué manera se pueden mover las variables endógenas para que el resultado de la toma de decisiones sea el óptimo.

Sin embargo, los costos incurridos por la entidad por el no funcionamiento de los equipos son un ejemplo típico de daños emergentes, en otras palabras, de detrimentos patrimoniales ya generados a la entidad. Por lo tanto, para cuantificar dichos daños, no corresponde usar mecanismos destinados a determinar las decisiones futuras óptimas, sino mecanismos que permitan calcular o estimar los daños realmente producidos. Hay otros mecanismos que nos permitirían hallar el estimado de los daños causados, como por ejemplo el esperado de una variable aleatoria, que es un concepto más del campo de la estadística que de la matemática. En esa línea, posiblemente hubiera bastado una operación aritmética conjugada con una estimación de probabilidades, sin tener que llegar al campo del cálculo diferencial.

En todo caso, si se quisiera obtener alguna información útil con los multiplicadores de Lagrange propondría hablar del mínimo de costos como un parámetro a tomar en cuenta por el juez. Por debajo de ese mínimo no podría encontrarse el monto a indemnizar, pero ello no podría significar que el juez no intente determinar o estimar los costos reales incurridos por la entidad. Adicionalmente, siguiendo la lógica del caso explicado en el artículo en comentario habría que señalar que la minimización de costos que se intentó hacer a través de los multiplicadores de Lagrange solo se estaría haciendo con respecto a la función de costos cuando la entidad realiza los trabajos ella misma. Sería importante también hacer esa misma operación para el escenario de que la entidad tercerice el servicio, a efectos de poder comparar ambos costos mínimos.

Solamente como un agregado a la crítica metodológica hecha hasta el momento, a continuación vamos a realizar algunas precisiones ya puramente en el aspecto matemático de las operaciones que se hacen en el artículo en comentario:

En primer lugar, hay que señalar que cuando se optimizan funciones, se debe hacer una diferenciación acerca de lo que son las condiciones necesarias y las condiciones suficientes. Los multiplicadores de Lagrange es un método para aplicar condiciones necesarias, es decir, para hallar valores que sean candidatos a resolver el problema. Pero para estar seguros que estos candidatos son las soluciones se debe cumplir con una condición suficiente. La condición suficiente es que la función a optimizar sea cóncava cuando se quiere maximizar o que sea convexa cuando se quiere minimizar. Por lo tanto, en este caso, además de aplicar Lagrange, se tendría que verificar que la función a minimizar (función objetivo) sea convexa. No obstante, la función x2+xy+500 no cumple dicha condición, ya que la determinante de su matriz hessiana no es mayor o igual a 0[3]. Siendo así, con los multiplicadores de Lagrange no sería posible hallar una solución al problema de minimización planteado. Posiblemente, esto se deba a un error en la redacción del problema, pues quizás se quiso decir que la función objetivo era 2x2+xy+y2+500. Solo en ese caso estaríamos ante una función convexa, puesto que la determinante de su matriz hessiana es mayor que cero y el primer miembro de la matriz también es mayor a 0.

En segundo lugar, habría que precisar que se omitió incluir la función a optimizar (minimizar) en el planteamiento matemático del problema. Solamente se colocó que se minimizará la función C(x,y)=. Sería preciso tener la función objetivo para resolver el problema de minimización.

En tercer lugar, sería importante también definir el valor de qué representan las variables “x” y “y”. Entendemos que nos estaríamos refiriendo a dos variables que deberían ser dos situaciones que tengan alguna repercusión en el desempeño de las máquinas, por ejemplo, la capacidad del personal que las usa y el mantenimiento que se les da, de modo que los costos de utilizar esas máquinas sea una función de ambas variables.

En cuarto lugar, un tema estrictamente de cálculo serían algunas inexactitudes en la derivación. La derivada en “x” de la función x2+xy+500-λ(x+y-200) no es 4x+y-λ, sino 2x+y-λ. Del mismo modo, la derivada de la misma función en “y” no es x+2y-λ sino x- λ. Presumimos que lo que se quiso derivar es la función 2x2+xy+y2+500-λ(x+y-200), pues solo en ese caso las derivadas estarían correctas.

Finalmente, haciendo el álgebra para el sistema de ecuaciones encontrado, sería correcto el valor de “x” y también de “y”, pero no sería correcto el valor del multiplicador λ que no sería -350 sino 350.

Para concluir, considero que en este texto se ha puesto de manifiesto la necesidad de ser cuidadoso en la utilización de herramientas de otras disciplinas para poder extrapolarlas de manera útil al análisis de problemas jurídicos. Más que con las precisiones matemáticas que hemos efectuado, resulta importante la adecuada identificación de las preguntas que buscan responder las instituciones que se trata de utilizar. Repito que esta no es una crítica estructural a la utilización de métodos matemáticos en el análisis de instituciones jurídicas, pues ya se tienen algunos interesantes ejemplos de utilización de métodos matemáticos como la teoría de juegos en el ámbito del Derecho de la Competencia o del concepto de conjuntos convexos y conjuntos cóncavos en el ámbito de la zonificación de los usos del suelo[4].


[1] FERNÁNDEZ SALAS, José Carlos. Análisis Macroeconómico del Derecho. En: Ius et Veritas N° 51

[2] En el campo de la teoría del productor.

[3] Para hallar la matriz hessiana se toman las segundas derivadas en “x” y en “y” de la función objetivo y se colocan en una Matriz 2×2.

[4] COOTER, Robert y Thomas Ulen. Derecho y Economía. 2da. Ed. México D.F.: Fondo de Cultura Económica, 2008, pp. 265 y ss.

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