Por Gilberto Mendoza del Maestro, magíster en Derecho Civil y Profesor de Derecho Civil de la Pontificia Universidad Católica del Perú.

Lo mejor que puede tener un texto son las críticas que genera el mismo. Dado que una buena crítica implica conocer lo que se ha leído, analizar los argumentos vertidos y brindar una opinión fundamentada conforme o disconforme sobre lo desarrollado; esta puede ayudar a cambiar o precisar lo escrito, o fortalecerlo.

Hace 2 semanas escribí un texto sobre la aplicación de los denominados multiplicadores de Lagrange en un caso en concreto, luego del cual recibí algunas críticas dado que según algunos conocedores del tema era más precisa la aplicación de las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker. En dicho caso consideramos que no era necesaria dicha generalización tal cual como estaba planteado el caso, aunque eso se puede discutir.

De otro lado, en este mismo portal se publicó una crítica a la aplicación misma señalándose:

“Desde mi punto de vista, el enfoque interdisciplinario que se intenta aplicar a la cuantificación de daños no se utiliza de manera adecuada porque se incurren en inexactitudes en dos niveles diferentes. Las primeras a nivel metodológico y las segundas a nivel puramente matemático (…).”[1]

Debemos adelantar que el autor de dicha crítica se basa en otro supuesto (función) que no existe en nuestro texto. El desarrollo matemático que nos atribuye no corresponde con el que remitimos para su publicación. Es falso.

Evidentemente, si cambian los supuestos de los cuales partimos la respuesta será distinta y probablemente errónea si se aplican mal las matemáticas tal como desarrolla dicho autor.

No obstante ello, a propósito de la respuesta a esta inexacta crítica aprovecharemos la oportunidad para introducir el tema del “esperado” toda vez que el autor de dicho texto (en adelante “el autor”) la mencionó, sin fundamentación alguna, como medio alternativo de solución del caso.

La ruta que va a tener el presente texto será entonces: 1. Aclaración sobre los supuestos errores en la aplicación matemática. 2. La aplicación del esperado. 3. El por qué en este caso sí puede aplicarse los multiplicadores de Lagrange.

1. ACLARACIÓN SOBRE LOS SUPUESTOS ERRORES EN LA APLICACIÓN MATEMÁTICA.

Con fecha 16 de junio remití un breve post para la publicación que semanalmente realizamos en este portal el cual señalaba lo siguiente:[2]

Min: C(x,y)= 2x² + xy + y² + 500
La restricción es: x + y= 200 (Cantidad máxima).

Aplicando los multiplicadores de Lagrange:

L=2x² + xy + y² + 500 – λ (x + y – 200)

Lx=0               Lx= 4x+y-λ
Ly=0               Ly= x+2y-λ
Lλ=0               x + y = 200

Igualando λ se obtiene:

     3x=y
X=50  Y=150            λ= -350

Luego reemplazamos en la función:

L=2x² + xy + y² + 500

        2(50)(50) + (50)(150) +(150)(150) + 500 = 35,500

El autor del texto de la crítica señala que no se había colocado la función objetivo, sin embargo luego señala que la función es x+ xy + 500 y que esta no es convexa tal como lo indiqué.

Tal como consta en el texto enviado para su publicación la función objetivo era 2x² + xy + y² + 500 la cual sintetizaba la función costo de la entidad.

En matemáticas, a diferencia del derecho, se hacen mucho más evidentes los errores cuando las premisas no son las correctas. Si el autor de la crítica partió de otra función era evidente que la respuesta sería distinta y errónea.

La función fue bien desarrollada, siendo que incluso el propio autor de la crítica señaló que la función aplicable era 2x² + xy + y² + 500.

Si la crítica es a una función distinta a la que nosotros hemos desarrollado en el texto, la misma debe ser desestimada.

Un tema adicional, es que el texto materia de crítica señala que:

“Los multiplicadores de Lagrange es un método para aplicar condiciones necesarias, es decir, para hallar valores que sean candidatos a resolver el problema.”

Esto es cierto como concepto, pero si el autor hizo el ejercicio (en estricto, repetir lo señalado en el texto materia de crítica) de resolver el problema, se habrá percatado que la única solución posible era la propuesta.

En el texto tampoco se desarrolló la matriz Hessiana, o de ser el caso ni la Hessiana Orlada para hallar los determinantes porque la idea del texto era sólo resolver el problema en cuestión. Todo lo demás era evidente del propio texto.

En todo caso, debió sugerirse que sea más detallado el desarrollo, pero no atribuirnos el desarrollo de una función errónea que nunca la planteamos en el texto.

2. LA APLICACIÓN DEL “ESPERADO”

El autor señala:

“Hay otros mecanismos que nos permitirían hallar el estimado de los daños causados, como por ejemplo el esperado de una variable aleatoria, que es un concepto más del campo de la estadística que de la matemática. En esa línea, posiblemente hubiera bastado una operación aritmética conjugada con una estimación de probabilidades, sin tener que llegar al campo del cálculo diferencial.” (El subrayado es nuestro)

El autor critica la aplicación del método de los multiplicadores de Lagrange, y propone la aplicación de un método estadístico como “el esperado” el cual da como resultado el obtener una probabilidad.

Demos entonces una breve aproximación al esperado de una variable aleatoria.

En términos sencillos, el valor esperado representa el valor promedio del que se tiene la expectativa que acaezca, repitiéndose dicho experimento en forma independiente.

Debe explicarse, entonces, que para la aplicación de dicho esperado debe definirse si la distribución de probabilidades son discretas o continuas. Las primeras se refieren si su rango Rx se puede enumerar; y continua, si su rango es con intervalo.

Si bien el autor no hizo el desarrollo entendemos que debería trabajar, de ser el caso, con un modelo probabilístico discreto.

Un ejemplo sencillo de aplicación es el siguiente:[3]

La demanda diaria de un artículo se considera una variable aleatoria discreta, X, con modelo probabilístico:

gil

El fabricante de ciertos artículos decide producir 2 unidades diarias durante un periodo de muchos días. Cada unidad vendida del artículo genera una utilidad de 5 soles; pero cualquier unidad que no se vende, al cabo del día, se desecha y genera una pérdida de 3 soles.

El fabricante desea saber cuál será la utilidad promedio, durante este periodo.

Los valores de g y f se muestran:

gg1

Así la utilidad esperada está dada por:

gg3

Es decir, la utilidad diaria promedio, en este periodo, sería de 7,33 soles.

Téngase en cuenta que en el presente caso estamos trabajando con probabilidades y valores promedios. ¿Esto podía aplicarse en el caso que propusimos para la aplicación de los multiplicadores de Lagrange? Evidentemente no.

Lo que se buscaba determinar es el costo del funcionamiento de las máquinas, no la probabilidad del costo del funcionamiento de las mismas.

Ponemos en esto énfasis dado que la cuantificación no es sencilla en todos los casos; es decir, es mucho más que una simple operación aritmética[4], en la cual deberá de tenerse claro qué se va a resarcir.

Así pues se distingue dentro de los daños patrimoniales entre el daño emergente y el lucro cesante. Dentro del daño emergente, existen daños que efectivamente afectan el patrimonio del sujeto, así como otros que afectan las expectativas por haberse frustrado alguna probabilidad de utilidad o éxito (llámese por ejemplo pérdida de la chance[5]).

DE CUPIS lo enfoca este último como daño emergente pero futuro:

“Por lo general, tal daño (emergente) es presente, actual, respecto al momento en que se aprecia; pero puede suceder que el interés, objeto del daño, integre una expectativa jurídica de atribución a una persona en el momento en que se causa el daño, sin que tal daño (…) tenga lugar ni en instante (SIC) en que se produjo ni en el del juicio, por lo que se tendrá un daño emergente futuro (…).”[6] (El añadido es nuestro)

La opción del esperado de la variable aleatoria no puede dar solución al caso planteado, siendo aplicable generalmente para el resarcimiento de expectativas. Por lo que no podemos compartir que el “autor” plantee resarcir probabilísticamente un daño, cuando existe otro método que puede solucionar efectivamente el caso planteado.

Debemos entender que en este extremo el autor o no leyó bien el caso, o no tiene claro los conceptos jurídicos.

Su propia crítica señala:

“Para concluir, considero que en este texto se ha puesto de manifiesto la necesidad de ser cuidadoso en la utilización de herramientas de otras disciplinas para poder extrapolarlas de manera útil al análisis de problemas jurídicos.”

Dicha reflexión es atendible; sin embargo, debe complementarse con que el presupuesto para la aplicación de herramientas económicas al derecho es conocer bien los conceptos jurídicos y, en caso de la aplicación de los casos, entender los casos propuestos.

El autor de la crítica intentó brindar una solución al paso, la cual, como hemos visto, no es correcta dado que no tiene claro el contenido del daño emergente, ni se ha detenido a verificar si la solución era aplicable al caso propuesto.

3. EL POR QUÉ EN ESTE CASO SÍ PUEDEN APLICARSE LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

Dentro del ámbito de aplicación del método de los multiplicadores de Lagrange se encuentran la maximización de la utilidad del consumidor, la minimización de costos, elección intemporal del consumo, entre otras.

El autor señala:

“En resumidas cuentas, los multiplicadores de Lagrange no constituyen un método que nos permita describir una realidad ocurrida, sino que, más bien, son un método que nos ayuda a tomar decisiones óptimas.”

El caso, en resumida cuenta, planteaba el hecho que una entidad del Estado licitó la implementación de 2 maquinarias de última generación, las cuales tenían una vigencia aproximada de 2 años.

Por culpa de los funcionarios en la ejecución del contrato los equipos fueron expuestos en lugares inadecuados que produjeron que se perjudicaran sin la debida instalación.

Dado que era un servicio que la entidad tenía la obligación de brindar a los asegurados, tercerizó el servicio, siendo el mismo más oneroso que si hubieran ellos mismos realizado el servicio.

En sede arbitral, la acreedora ganó el caso, debiendo la entidad resarcir los daños y perjuicios. Por tanto en el caso concreto la entidad deseaba repetir contra sus funcionarios.

Parte del daño emergente se encuentra en el valor de la máquina, pero también en el costo de utilización de la misma, toda vez que igual debía brindarse el servicio, por lo que se tercerizó el mismo.

Si la entidad estaba obligada a brindar el servicio, este iba a ocasionar un costo “x” (S/.35,500) dado que poseen la máquina, en cambio, cuando se tercerizó este se incrementó a la suma de “y” (S/. 200,000.00).

La propuesta era sencilla de entender, por el servicio de todas formas la entidad debía incurrir en costos. Sin embargo, estos costos con las maquinarias perjudicadas iban a ser mucho menores. En razón de ello, el daño que debía trasladarse a los funcionarios era la diferencia entre lo tercerizado y los costos que iba a incurrir la entidad de tener la maquinaria.

Respecto al costo de la tercerización no había problema en hallar el monto dado que el servicio prestado tenía facturas que acreditaban ello. Es por eso que no era necesario aplicar Lagrange en este caso como lo propone el “autor”.

Donde existe la duda es sobre el costo que la empresa iba a incurrir por la utilización de la maquinaria. ¿Cómo hallar dicho costo? En estos casos no hay documentos que acrediten el costo de servicio de la propia entidad.

El método de multiplicadores de Lagrange puede servir para ello. Téngase en cuenta que el propio autor señala:

“En todo caso, si se quisiera obtener alguna información útil con los multiplicadores de Lagrange propondría hablar del mínimo de costos como un parámetro a tomar en cuenta por el juez. Por debajo de ese mínimo no podría encontrarse el monto a indemnizar, pero ello no podría significar que el juez no intente determinar o estimar los costos reales incurridos por la entidad.”

Justamente, en este caso no existen documentos para acreditar dichos costos dado que es la propia entidad la que está brindando el servicio. ¿Qué herramienta puede utilizar el juez entonces?

Con la aplicación de este método puede establecerse el costo mínimo en que incurriría la entidad de brindar el servicio. Esta información en manos del juez o del árbitro es valiosa para determinar el monto resarcitorio.

Si uno no va a los manuales de microeconomía evidentemente no van a señalar que esto se aplica a un caso jurídico. No obstante ello, uno puede verificar en la práctica la funcionalidad de las herramientas económicas, y en el caso en concreto puede ser una herramienta de cuantificación. Lo contrario sería señalar que como no se puede cuantificar el servicio, la repetición es por el íntegro, lo cual sería ir más allá de los daños efectivamente causados por los funcionarios.

Que se empiecen a discutir sobre herramientas que puedan servir a los jueces y árbitros en materia de cuantificación de daños es ya un avance. La economía y estadística son terrenos en los cuales es necesario transitar para poder encontrarlas.


[1] http://enfoquederecho.com/civil/derecho-y-matematica-a-proposito-de-un-reciente-articulo/

[2] http://enfoquederecho.com/civil/cuantificar-los-danos-he-ahi-un-gran-problema-a-proposito-de-los-multiplicadores-de-lagrange/

[3] Tomado del contexto propuesto por el profesor José Flores Delgado. Documento privado 2016.

[4] Busnelli y Patti, si bien introducen el tema como una mera operación aritmética son conscientes de la dificultad de la cuantificación en diversos casos. BUSNELLI, Francesco y PATTI, Salvatore. Danno e Responsabilità Civile. Torino: G. Giappichelli editore, 1997, p.33.

[5] Téngase en cuenta que en algunos ordenamientos como el italiano dado que el daño no es inmediato ni directo, y además muy amplio y oneroso para el dañante, no se asegura su resarcimiento. ALPA, Guido. Responsabilidad Civil y Daño. Lineamientos y cuestiones. Traducido por Juan Espinoza Espinoza, Lima, Gaceta Jurídica, 2001, p.543.

[6] DE CUPIS, Adriano. El daño. Teoría general de la Responsabilidad Civil. Traducción de la segunda edición italiana por Angel Martínez Sarrión, Barcelona, Bosch, 1975, p.321.

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